안전벨트와 에어백은 무엇을 늦출까요?
뉴턴 법칙, 운동량, 충격량
장면
자율주행차 급제동, 안전벨트 맨 탑승자 모두 무사
아침 식탁에서 태오가 뉴스를 넘기다 멈춰요. "급제동하면 몸이 앞으로 확 쏠리잖아요. 벨트가 잡아 주는 건 알겠는데, 에어백은 왜 또 있어요?"
이모 윤 선생님이 웃어요. "둘 다 같은 일을 해. 무언가를 늦춰 주거든."
같은 속도로 달리다 멈출 때, 빨리 멈추는 것과 천천히 멈추는 것은 몸에 무엇이 다를까요?
먼저 예상해 봐요
같은 속도에서 0.1초 만에 멈출 때와 0.5초에 걸쳐 멈출 때, 몸이 받는 평균 힘은?
해 보기
60kg인 사람이 탄 차가 멈춰요. 멈추는 시간을 바꿔 봐요. 색칠한 넓이는 그대로인데, 높이가 바뀌어요.
멈추는 동안 힘이 일정하다고 보고 평균 힘만 그렸어요. 점선은 같은 속력에서 0.1초에 멈출 때예요.
증명하기
정답은 "0.1초 쪽이 5배"예요.
차가 갑자기 서도 몸은 하던 대로 앞으로 가려 해요. 힘을 받지 않으면 움직임이 바뀌지 않는 이 성질을 관성이라고 해요.
움직이는 몸에는 "움직임의 양"이 있어요. 질량에 속도를 곱한 값으로, 운동량momentum이라고 불러요. 멈춘다는 건 이 운동량을 0으로 만드는 일이에요.
운동량을 바꾸려면 힘이 얼마 동안 작용해야 해요. 힘에 시간을 곱한 이 값을 충격량impulse이라고 하고, 운동량의 변화와 같아요.
\[ \text{평균 힘} \times \text{멈추는 시간} = \text{운동량의 변화} \]속도가 같으면 오른쪽은 정해져 있어요. 그래서 시간이 5배 길면 힘은 5분의 1이에요. 그래프에서는 넓이가 같은 직사각형의 높이와 폭이 바뀌는 거예요.
생활 속에서
한 걸음 더: 뉴턴 제2법칙에서 충격량으로
뉴턴 제2법칙은 힘이 질량과 가속도의 곱이라고 말해요. 가속도는 속도가 시간당 얼마나 바뀌는지예요.
\[ F = ma = m\,\frac{\Delta v}{\Delta t} \]양변에 시간 \(\Delta t\)를 곱하면 "힘 × 시간 = 운동량의 변화"가 나와요. 실제 충돌의 힘은 일정하지 않고 확 솟았다 줄어들어요. 그때도 힘-시간 그래프 아래 넓이가 충격량이에요(4장의 적분과 같은 생각이에요).
시간을 늘리려면 공간도 필요해요. 일정하게 느려지며 멈추면 그동안 가는 거리는 "처음 속력 × 시간 ÷ 2"예요. 시속 50km에서 0.1초 동안 멈추면 약 69cm를 더 가요. 그래서 차 앞부분은 일부러 찌그러지게 만들고, 벨트는 몸이 앞으로 갈 여유를 조금 남겨요.
더 깊이 알고 싶다면 수학 서가의 미적분 책에서 넓이로서의 적분을 이어 읽을 수 있어요.
오늘의 한 줄
멈출 때 받아야 할 충격량은 정해져 있어요.
안전장치는 그것을 긴 시간에 나눠 힘을 줄여요.
같은 차, 같은 속력에서 멈추는 시간이 2배 길어지면 평균 힘은?
힘 × 시간이 일정하니 시간이 2배면 힘은 반이에요.
멈추는 시간이 같을 때, 속력이 2배면 받아야 할 충격량은?
운동량은 질량 × 속도라 속도가 2배면 운동량 변화, 곧 충격량도 2배예요.
달걀이 맨바닥보다 방석 위에서 덜 깨지는 까닭은?
방석이 눌리는 동안 천천히 멈춰서, 같은 충격량을 작은 힘으로 받아요.